Diberikan pernyataan matematika $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$. Untuk membuktikan pernyataan ini benar menggunakan induksi matematika, langkah induktif mengasumsikan pernyataan benar untuk $n=k$ dan kemudian membuktikan benar untuk $n=k+1$. Manakah dari berikut ini yang merupakan ekspresi yang benar untuk ruas kiri persamaan saat $n=k+1$ yang harus dibuktikan sama dengan ruas kanan?

$\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2(k+1)-1)^2$

Diberikan pernyataan $P(n): 2^n ext{ extgreater } n^2$ untuk setiap bilangan asli $n ext{ extgreater } 4$. Untuk membuktikan ini, langkah dasar $P(5)$ adalah $2^5 = 32 ext{ extgreater } 5^2 = 25$, yang benar. Asumsikan $P(k): 2^k ext{ extgreater } k^2$ benar untuk suatu $k ext{ extgreater } 4$. Manakah argumen yang paling tepat untuk menunjukkan $P(k+1): 2^{k+1} ext{ extgreater } (k+1)^2$?

Karena $2^k ext{ extgreater } k^2$, maka $2^{k+1} = 2 imes 2^k ext{ extgreater } 2k^2$. Kita perlu membandingkan $2k^2$ dengan $(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$. Selisihnya adalah $k^2 - 2k - 1$. Untuk $k ext{ extgreater } 4$, $k^2 - 2k - 1 ext{ extgreater } 0$, sehingga $2k^2 ext{ extgreater } (k+1)^2$.

Latihan Soal Bab 1: Induksi Matematika - matematika Kelas 11

No. 1

Seorang siswa mencoba membuktikan bahwa 'Untuk setiap bilangan bulat positif $n$ , $3n+2$ adalah bilangan genap' menggunakan induksi matematika.1. Basis Induksi: $P(1): 3(1)+2 = 5$ , yang merupakan bilangan ganjil.Siswa tersebut menyadari bahwa basis induksi gagal. Jika siswa tersebut keliru berasumsi bahwa $P(1)$ adalah benar dan mencoba melanjutkan ke langkah induksi, apa yang kemungkinan besar akan terjadi?