Seorang siswa mencoba membuktikan pernyataan $P(n): n^2 + n + 41$ adalah bilangan prima untuk setiap bilangan asli $n$. Ia memulai dengan langkah dasar untuk $n=1$, didapatkan $1^2+1+41 = 43$, yang merupakan bilangan prima. Kemudian ia mengasumsikan $P(k)$ benar dan mencoba membuktikan $P(k+1)$. Dimanakah letak kesalahan fundamental dalam upaya pembuktian pernyataan ini dengan induksi matematika?

Pernyataan $P(n)$ memang salah untuk beberapa nilai $n$, sehingga tidak dapat dibuktikan dengan induksi matematika secara keseluruhan. Contohnya, untuk $n=41$, $P(41)$ bukan bilangan prima.

Seorang guru mencoba membuktikan bahwa 'semua bilangan bulat positif memiliki warna yang sama'. Dia menggunakan induksi matematika. Langkah basisnya adalah 'bilangan bulat 1 memiliki warna'. Kemudian, dalam langkah induktif, dia berasumsi bahwa 'semua bilangan bulat hingga $k$ memiliki warna yang sama'. Lalu dia mencoba membuktikan bahwa $k+1$ juga memiliki warna yang sama. Di mana letak kesalahan fundamental dalam penalaran ini yang membuat 'bukti' ini tidak valid?

Kesalahan ada pada transisi dari $P(k)$ ke $P(k+1)$ karena tidak semua $k$ yang berurutan dapat dijamin memiliki sifat yang sama dalam kasus ini.

Latihan Soal Bab 1: Induksi Matematika - matematika | LatihanOnline

No. 1

Kita ingin membuktikan $P(n): \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} < 2 - \frac{1}{n}$ untuk semua bilangan bulat $n \ge 2$ .1. Basis Induksi: Untuk $n=2$ , $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ . Ruas kanan adalah $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Karena $\frac{5}{4} < \frac{6}{4}$ , $P(2)$ benar.2. Hipotesis Induksi: Asumsikan $P(k)$ benar untuk suatu bilangan bulat $k \ge 2$ , yaitu $\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} < 2 - \frac{1}{k}$ .3. Langkah Induksi: Kita perlu menunjukkan $P(k+1)$ benar, yaitu $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} < 2 - \frac{1}{k+1}$ .Manakah langkah berikut yang paling tepat untuk melanjutkan pembuktian pada langkah induksi?