Diberikan ketaksamaan Bernoulli: $(1+x)^n \ge 1+nx$ untuk $x > -1$ dan $n$ adalah bilangan asli. Dalam langkah induktif, kita mengasumsikan $(1+x)^k \ge 1+kx$ benar untuk suatu $k \ge 1$. Untuk membuktikan $(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x$, manakah dari langkah-langkah berikut yang paling tepat untuk melanjutkan dari asumsi induktif?

Kalikan kedua sisi ketaksamaan asumsi induktif dengan $(1+x)$.

Pernyataan $P(n):$ 'Jika suatu himpunan memiliki $n$ elemen, maka banyaknya himpunan bagian (subset) yang mungkin adalah $2^n$' akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.1. Basis Induksi: Untuk $n=0$ (himpunan kosong $\emptyset$), himpunan bagiannya adalah $\emptyset$ itu sendiri, yaitu $1$ himpunan bagian. Rumus $2^0 = 1$. (Benar).2. Hipotesis Induksi: Asumsikan $P(k)$ benar untuk suatu bilangan bulat $k \ge 0$, yaitu himpunan dengan $k$ elemen memiliki $2^k$ himpunan bagian.3. Langkah Induksi: Kita perlu menunjukkan $P(k+1)$ benar, yaitu himpunan dengan $k+1$ elemen memiliki $2^{k+1}$ himpunan bagian.Bagaimana langkah induksi ini diselesaikan dengan tepat?

Himpunan bagian yang tidak mengandung $x$ adalah himpunan bagian dari $S' = S \setminus \{x\}$, yang berjumlah $2^k$ (dari hipotesis induksi). Himpunan bagian yang mengandung $x$ dibentuk dengan mengambil setiap himpunan bagian dari $S'$ dan menambahkan $x$ ke dalamnya, sehingga juga berjumlah $2^k$. Maka, totalnya $2^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$.

Latihan Soal Bab 1: Induksi Matematika - matematika | LatihanOnline

No. 1

Pernyataan $P(n):$ 'Jumlah sudut interior dari poligon konveks dengan $n$ sisi adalah $(n-2) \cdot 180^\circ$ ' akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.1. Basis Induksi: Untuk $n=3$ (segitiga), jumlah sudutnya adalah $180^\circ$ . Rumus memberikan $(3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$ . (Benar).2. Hipotesis Induksi: Asumsikan $P(k)$ benar untuk suatu $k \ge 3$ , yaitu jumlah sudut interior poligon $k$ -sisi adalah $(k-2) \cdot 180^\circ$ .3. Langkah Induksi: Kita perlu menunjukkan $P(k+1)$ benar, yaitu jumlah sudut interior poligon $(k+1)$ -sisi adalah $((k+1)-2) \cdot 180^\circ = (k-1) \cdot 180^\circ$ .Bagaimana cara yang paling umum dan tepat untuk melanjutkan langkah induksi ini?