Seorang matematikawan amatir mencoba membuktikan bahwa 'Semua bilangan bulat positif $n$ memiliki nilai yang sama'. Ia memberikan argumen induksi sebagai berikut:1. Basis Induksi: Untuk $n=1$, $P(1)$ adalah '1 memiliki nilai yang sama dengan 1', yang jelas benar.2. Hipotesis Induksi: Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan bulat positif $k$, jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif dan $ ext{max}(x,y)=k$, maka $x=y$.3. Langkah Induksi: Kita ingin membuktikan $P(k+1)$, yaitu jika $ ext{max}(x,y)=k+1$, maka $x=y$.Misalkan $x$ dan $y$ adalah dua bilangan bulat positif dengan $ ext{max}(x,y)=k+1$.Pertimbangkan bilangan $x-1$ dan $y-1$. Jelas $ ext{max}(x-1, y-1) = k$.Berdasarkan hipotesis induksi, $x-1 = y-1$.Maka, $x = y$.Di mana letak kesalahan fundamental dalam argumen induksi ini?

Langkah induksi tidak valid karena $x-1$ atau $y-1$ mungkin bukan bilangan bulat positif.

Perhatikan barisan Fibonacci yang didefinisikan sebagai $F_1 = 1, F_2 = 1$, dan $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ untuk $n ext{ extgreater } 2$. Kita ingin membuktikan bahwa $F_n ext{ extless } (rac{7}{4})^n$ untuk setiap bilangan asli $n$. Jika kita menggunakan induksi matematika kuat (strong induction), apa yang harus kita asumsikan dalam hipotesis induksi?

Asumsikan $F_j ext{ extless } (rac{7}{4})^j$ benar untuk semua bilangan asli $j$ di mana $j ext{ extless } k+1$.

LATIHAN• 1/5

No. 1