Logo LatihanOnline
LatihanOnline
Kembali ke Katalog
SMK KELAS 10

Program Linear: Optimalisasi Sumber Daya untuk Efisiensi Industri

Bagikan:
WhatsApp Facebook

Pendahuluan

Selamat datang, para calon profesional industri! Di era persaingan bisnis yang ketat, setiap keputusan strategis yang diambil perusahaan haruslah didasarkan pada perhitungan yang cermat. Salah satu alat matematis yang sangat powerful untuk membuat keputusan optimal terkait alokasi sumber daya terbatas adalah Program Linear (Linear Programming). Program Linear banyak digunakan dalam berbagai sektor industri, mulai dari manufaktur, logistik, pertanian, hingga keuangan, untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya.

Sebagai siswa SMK, pemahaman Anda tentang Program Linear akan menjadi bekal berharga untuk memecahkan masalah nyata di dunia kerja. Bayangkan Anda harus menentukan berapa banyak produk yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal dengan keterbatasan bahan baku, jam kerja, dan kapasitas mesin. Program Linear adalah jawabannya!

Teori dan Konsep Dasar Program Linear

Program Linear adalah metode optimasi yang melibatkan sistem pertidaksamaan linear sebagai kendala dan sebuah fungsi linear sebagai fungsi tujuan. Mari kita pahami komponen-komponen utamanya:

  • Variabel Keputusan (Decision Variables): Ini adalah kuantitas yang ingin kita tentukan untuk mencapai tujuan. Biasanya dilambangkan dengan $x, y, z$, dst. Contoh: jumlah produk A yang akan diproduksi ($x$), jumlah produk B yang akan diproduksi ($y$).
  • Fungsi Tujuan (Objective Function): Ini adalah fungsi linear yang akan kita maksimalkan (misalnya, keuntungan) atau minimalkan (misalnya, biaya). Bentuk umumnya adalah $Z = ax + by$ (untuk dua variabel).
  • Fungsi Kendala (Constraint Functions): Ini adalah batasan-batasan atau keterbatasan sumber daya yang ada, seperti bahan baku, jam kerja, kapasitas produksi, atau anggaran. Fungsi kendala ini dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear ($, e, ext{ atau } e$ ). Contoh: $2x + 3y e 120$ (kendala bahan baku), $x e 0, y e 0$ (kendala non-negatif, karena jumlah produk tidak mungkin negatif).

Langkah-langkah Umum Pemecahan Masalah Program Linear (Metode Grafis untuk Dua Variabel):

  1. Identifikasi Variabel Keputusan: Tentukan apa yang ingin Anda cari (misalnya, $x$ dan $y$).
  2. Rumuskan Fungsi Tujuan: Buat persamaan $Z = ax + by$ berdasarkan tujuan (maksimalkan profit atau minimalkan biaya).
  3. Rumuskan Fungsi Kendala: Tulis semua batasan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Jangan lupa kendala non-negatif ($x e 0, y e 0$).
  4. Gambarkan Daerah Penyelesaian (Feasible Region):
    • Ubah setiap pertidaksamaan kendala menjadi persamaan garis ($ax + by = c$).
    • Gambarkan garis-garis tersebut pada sistem koordinat Kartesius.
    • Tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan (daerah layak/feasible region). Ini adalah daerah yang dibatasi oleh semua kendala, termasuk $x e 0, y e 0$.
  5. Tentukan Titik Pojok (Corner Points): Cari koordinat semua titik pojok dari daerah penyelesaian. Titik-titik ini merupakan perpotongan antara garis-garis kendala.
  6. Uji Titik Pojok ke Fungsi Tujuan: Substitusikan koordinat setiap titik pojok ke dalam fungsi tujuan ($Z = ax + by$).
  7. Tentukan Nilai Optimal: Untuk masalah maksimasi, pilih nilai $Z$ terbesar. Untuk masalah minimasi, pilih nilai $Z$ terkecil.

Studi Kasus: Optimalisasi Produksi di Pabrik Furniture

Sebuah pabrik furniture "Jaya Mebel" memproduksi dua jenis produk: meja belajar dan kursi ergonomis. Proses produksi kedua produk ini memerlukan waktu pemotongan kayu dan waktu perakitan. Berikut adalah data produksinya:

  • Meja Belajar ($x$): Membutuhkan 2 jam pemotongan dan 4 jam perakitan. Keuntungan per unit: Rp 300.000.
  • Kursi Ergonomis ($y$): Membutuhkan 3 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Keuntungan per unit: Rp 250.000.

Kapasitas waktu kerja yang tersedia setiap minggu adalah:

  • Total waktu pemotongan: maksimal 60 jam.
  • Total waktu perakitan: maksimal 80 jam.

Manajemen Jaya Mebel ingin menentukan berapa banyak meja belajar dan kursi ergonomis yang harus diproduksi setiap minggu agar keuntungan total yang diperoleh maksimal.

Langkah Penyelesaian:

  1. Variabel Keputusan:
    • $x$ = Jumlah unit meja belajar yang diproduksi.
    • $y$ = Jumlah unit kursi ergonomis yang diproduksi.
  2. Fungsi Tujuan (Maksimasi Keuntungan):

    $Z = 300.000x + 250.000y$

  3. Fungsi Kendala:
    • Waktu pemotongan: $2x + 3y e 60$
    • Waktu perakitan: $4x + 2y e 80$ (bisa disederhanakan menjadi $2x + y e 40$)
    • Non-negatif: $x e 0, y e 0$
  4. Daerah Penyelesaian (Visualisasi Grafis):

    Untuk menggambar daerah penyelesaian, kita ubah kendala menjadi persamaan garis:

    • $2x + 3y = 60$
      • Jika $x=0$, maka $3y=60 e y=20$. Titik $(0,20)$.
      • Jika $y=0$, maka $2x=60 e x=30$. Titik $(30,0)$.
    • $2x + y = 40$
      • Jika $x=0$, maka $y=40$. Titik $(0,40)$.
      • Jika $y=0$, maka $2x=40 e x=20$. Titik $(20,0)$.

    Daerah layak adalah area yang memenuhi semua pertidaksamaan. Dengan $x e 0, y e 0$, daerahnya berada di kuadran I.

  5. Titik Pojok:
    • $(0,0)$
    • $(20,0)$ (perpotongan $2x+y=40$ dengan sumbu $x$)
    • $(0,20)$ (perpotongan $2x+3y=60$ dengan sumbu $y$)
    • Titik perpotongan antara $2x + 3y = 60$ dan $2x + y = 40$.

      Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2):

      $(2x + 3y) - (2x + y) = 60 - 40$

      $2y = 20 e y = 10$

      Substitusikan $y=10$ ke $2x + y = 40 e 2x + 10 = 40 e 2x = 30 e x = 15$.

      Titik pojok adalah $(15,10)$.

  6. Uji Titik Pojok ke Fungsi Tujuan $Z = 300.000x + 250.000y$:
    • $(0,0) e Z = 300.000(0) + 250.000(0) = 0$
    • $(20,0) e Z = 300.000(20) + 250.000(0) = 6.000.000$
    • $(0,20) e Z = 300.000(0) + 250.000(20) = 5.000.000$
    • $(15,10) e Z = 300.000(15) + 250.000(10) = 4.500.000 + 2.500.000 = 7.000.000$
  7. Nilai Optimal:

    Keuntungan maksimal adalah Rp 7.000.000, yang dicapai dengan memproduksi 15 unit meja belajar dan 10 unit kursi ergonomis.

Rangkuman

Program Linear adalah alat yang esensial dalam pengambilan keputusan bisnis untuk mengoptimalkan pemanfaatan sumber daya yang terbatas. Dengan merumuskan masalah ke dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala, kita dapat menemukan solusi terbaik untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. Kemampuan ini akan sangat dicari di dunia kerja, membuktikan bahwa Matematika bukan hanya teori, tetapi juga solusi praktis untuk tantangan industri!

Uji Pemahaman

#1

Sebuah pabrik tekstil "Fashion Maju" memproduksi dua jenis kain: Kain Sutra ($x$) dan Kain Katun ($y$). Setiap meter Kain Sutra membutuhkan 2 kg benang dan 3 jam waktu mesin. Setiap meter Kain Katun membutuhkan 3 kg benang dan 1 jam waktu mesin. Persediaan total benang harian maksimal 120 kg, dan total waktu mesin yang tersedia 100 jam. Keuntungan per meter Kain Sutra adalah Rp 50.000 dan per meter Kain Katun adalah Rp 40.000. Berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pabrik Fashion Maju per hari?

#2

Sebuah perusahaan agrobisnis "Panen Raya" memiliki lahan seluas 150 hektar dan ingin menanam dua jenis komoditas: Jagung ($x$) dan Kedelai ($y$). Setiap hektar Jagung membutuhkan biaya operasional Rp 2.000.000 dan 10 hari kerja. Setiap hektar Kedelai membutuhkan biaya operasional Rp 3.000.000 dan 5 hari kerja. Perusahaan memiliki anggaran maksimal Rp 360.000.000 dan total hari kerja yang tersedia adalah 1.000 hari. Jika keuntungan per hektar Jagung adalah Rp 10.000.000 dan Kedelai Rp 12.000.000, berapa keuntungan maksimum yang bisa didapatkan Panen Raya?

#3

Sebuah perusahaan pengiriman ekspres "Cepat Sampai" mengelola dua jenis kurir: Kurir Motor ($x$) dan Kurir Mobil ($y$). Setiap Kurir Motor dapat mengirim 15 paket per hari dengan biaya operasional Rp 50.000. Setiap Kurir Mobil dapat mengirim 20 paket per hari dengan biaya operasional Rp 80.000. Perusahaan harus mengirim setidaknya 600 paket per hari. Total anggaran operasional harian tidak boleh melebihi Rp 2.400.000. Jumlah Kurir Motor tidak boleh lebih dari dua kali lipat jumlah Kurir Mobil. Tentukan biaya operasional minimum yang harus dikeluarkan Cepat Sampai untuk memenuhi target pengiriman.

#4

Sebuah toko roti "Roti Nikmat" memproduksi dua jenis roti: Roti Gandum ($x$) dan Roti Manis ($y$). Untuk setiap Roti Gandum, diperlukan 150 gram tepung dan 20 gram gula. Untuk setiap Roti Manis, diperlukan 100 gram tepung dan 30 gram gula. Persediaan harian tepung maksimal 6 kg (6000 gram) dan gula maksimal 1.5 kg (1500 gram). Kapasitas oven hanya mampu memanggang 50 roti per hari (total Gandum dan Manis). Jika keuntungan per Roti Gandum adalah Rp 8.000 dan per Roti Manis Rp 7.000, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Roti Nikmat?

#5

Sebuah perusahaan startup "Inovasi Digital" ingin mengalokasikan anggaran promosi sebesar Rp 100.000.000 untuk dua platform iklan: Iklan Sosial Media ($x$) dan Iklan Mesin Pencari ($y$). Setiap unit Iklan Sosial Media memerlukan biaya Rp 2.000.000 dan diperkirakan menjangkau 5.000 calon pelanggan. Setiap unit Iklan Mesin Pencari memerlukan biaya Rp 3.000.000 dan diperkirakan menjangkau 8.000 calon pelanggan. Perusahaan menargetkan jangkauan minimal 200.000 calon pelanggan. Selain itu, alokasi untuk Iklan Sosial Media tidak boleh kurang dari 2 kali alokasi Iklan Mesin Pencari ($x e 2y$). Berapa jangkauan calon pelanggan maksimal yang dapat dicapai Inovasi Digital?

Latihan Soal Lainnya?

Akses bank soal matematika Kelas 10 lengkap.

Cari Soal